25/11/2013

Lunes – Segunda-feira

10:00 – 11:00: Abertura e Café

11: 00 – 12: 00: Conferência:

Números como propiedades de segundo orden

Oswaldo Chateaubriand (PUC-Rio)

12:00 – 12:30: Debatedor: María de Ponte (Universidad de Sevilla)

12:30 – 13:30 Debate

16:00 – 17:00: Conferência

Sobre el interludio de prácticas lógicas y aritméticas

José Ferreirós (Universidad de Sevilla)

17:00 – 17:30: Debatedor: Mario Bacelar Valente (Universidade de Sevilla)

17: 30 – 18:00 Café

18: 00 – 19:00 Debate

26/11/2013

Martes – Terça-feira

10:00 – 11:00: Conferência

La concepción simbólica de la aritmética

Abel Lassalle Casanave (UFBA – Brasil)

11:00 – 11:30 Debatedor: Sérgio Schultz (PUC-Rio)

11:30 – 12:30 Debate

16:00 – 17:00 Conferência

Números, conjuntos e classes próprias

Frank Th. Sautter (UFSM)

17:00 – 17:30: Debatedor: Valeria Giardino (Archives Henri-Poincaré - CNRS / Université de Lorraine - Francia)

17: 30 – 18-00 Café

18: 00 – 19-00 Debate

27/11/2013

Miércoles – Quarta-feira

(Français, English)

OJO, en el Pabellón de México

10: 00 – 11: 00: Conferência

Conception neuroscientifique du nombre

Horya Benis Sinaceur (CNRS/IHPST-Université Paris I)

11:00 – 11:30: Debatedor: Tatiana Arrigoni (Fondazione Bruno Kessler)

11:30 – 12:30 Debate

16:00 – 17:00: Conferência

Comparing numbers and number-theoretic propositions in the Peano, in the Gödel, and in the Whitehead-Russell formalizations of Arithmetic

José Miguel Sagüillo (Universidad de Santiago de Compostela)

17:00 – 17:30 Debatedor: Concepción Martinez Vidal (Universidad de Santiago de Compostela)

17: 30 – 18-00 Café

18: 00 – 19-00 Debate

28/11/2013

Jueves – Quinta-feira

10:00 – 12:00: Reunião de Trabalho

12: 00 – 14-00: Reunião de encerramento do projeto

Symbolic Knowledge in Hilbert’s Program

Abel LASSALLE CASANAVE

The sensibilization of thinking was a Leibnizian leitmotiv. From the perspective of the cognitive import of such sensibilization, figures, the natural languages, diagrams, all kind of notations, Chinese ideograms and the like were object of his interest. The kind of knowledge that is obtained by means of symbols or signs was called by Leibniz symbolic knowledge (cognitio symbolica or caeca); when knowledge is obtained by direct and simultaneous consideration of the distinct notes compounding a distinct idea is intuitive. In this paper we intend to point out that the Hilbertian formalism is a chapter of the history of symbolic knowledge. In the first section, we will sketch the outlines of our interpretation of the Hilbert’s Program. In the second, we will introduce the Leibnizian  notions of  intuitive and symbolic knowledge. In the third, the knowledge obtained in accordance with the so called "finite point of view" will be characterized as intuitive knowledge, while in the fourth the knowledge obtained via formal systems will be considered as symbolic knowledge.

Números como propiedades de segundo orden

Oswaldo CHATEAUBRIAND

Aunque Frege desarrolló una teoría de atribuciones numéricas como propiedades de segundo orden, él mantenía que los números (naturales) son objetos, y los caracterizó como extensiones de propiedades. Las nociones de objeto y de concepto en Los Fundamentos de la Aritmética son caracterizadas gramaticalmente: objeto es aquello que es sujeto de una proposición singular y concepto es lo que es predicado de la misma. Los números son objetos porque son sujetos de proposiciones como ‘5 es un número primo’. Frege también mantuvo que cada número es una entidad auto-subsistente; de lo cual se puede concluir que la identidad de los números no depende ontologicamente de la estructura numérica—como mantienen los estructuralistas. En mi conferencia abordaré las nociones de extensión, conjunto, estructura y número, entre otras,  y defenderé la posición de que los números pueden ser tratados como propiedades de segundo orden que son auto-subsistentes, y que al ser sujetos de funciones y conceptos aritméticos son también objetos. Obviamente hay muchas cuestiones involucradas en esa discusión, así como en el desarrollo posterior de las ideas de Frege, que examinaré en mi conferencia.

Sobre el interludio de prácticas lógicas y aritméticas: Gauss, Dedekind, Peano

José FERREIRÓS

En un trabajo reciente, argumento que el conocimiento aritmético goza de certeza, a diferencia de la matemática avanzada. Considerando el trabajo matemático como un asunto de elaboraciones simbólico-conceptuales sobre prácticas más básicas, el caso de la aritmética nos remite a las prácticas de contar. La tesis anterior nos compromete con la idea de que, p.e., los axiomas de Peano son verdaderos acerca de los números de contar. En esta charla presentaré las ideas principales de ese enfoque junto con algunas acotaciones y precisiones que resultan necesarias: 1. la distinción entre aritmética básica y teoría de números, con algunos ejemplos tomados de la teoría analítica y la teoría algebraica de números; 2. la consideración de fenómenos como el de los modelos no-estándar de PA como algo propio de la teoría de números avanzada (lo que cabría denominar teoría “lógica” de números). Mostraré también que algunas diferencias importantes entre la axiomatización de la aritmética propuesta por Dedekind y la de Peano, pueden interpretarse en términos de la distinción entre aritmética básica y teoría de números: el análisis de Peano es de tendencia elemental, mientras el de Dedekind es estructural y atiende al desarrollo de la teoría de números avanzada.

Comparing numbers and number-theoretic propositions in the Peano, Gödel, and Whitehead-Russell formalizations of Arithmetic

José M. SAGÜILLO

This paper analyses three distinguished formalizations of Arithmetic pointing out their distinct technical features and their philosophical underpinnings. In the present framework, the propositions considered pertain to a given specific domainof investigation, the domain of natural numbers. On the other hand, sentences in a given language, express propositions when interpreted with respect to a given universe of discourse in some formalization of Arithmetic. The discussion focuses on the choice of the universe of discourse made by Gödel, Peano, and Whitehead-Russell when formalizing the science whose domain is the natural numbers. These two concepts, “domain of investigation of a science” and “the universe of discourse of a formalization of a science” are distinct although sometimes they may coincide in extension. In Peano’sformalization of Arithmetic (PA), the domain is a restricted class of individuals, while the universe of discourse is the unrestricted class of all individuals. In Gödel’s formalization of Arithmetic (GA), the domain is a restricted class of individuals as in Peano’s formalization, but the universe of discourse coincides in extension with the domain. InWhitehead-Russell’s formalization (W-R) the domain is a class of logical notions in Tarski’s sense, that are necessarily not individuals, whereas the universe of discourse is based on the unrestricted class of individuals as in Peano’s formalization. Different treatment of domain and universe in each arithmetical framework determines which propositions are expressed by which sentences and prompts discussion of different conceptions of number. The paper concludes with reflection on philosophical disagreements about the ontology and epistemology of arithmetical practice suggested by Peano, Gödel, and Russell.

Números, conjuntos e classes próprias

Frank Thomas SAUTTER

Propongo tres nociones alternativas a la noción cantoriana de equinumerosidad. Asimismo, uso un procedimiento empleado en Lógicas Moduladaspara proponer una familia de nociones alternativas a la noción cantoriana de equinumerosidad. Tanto las tres nociones alternativas como las nociones alternativas de la familia son más fuertes que la noción cantoriana y no están sujetas a la Paradoja de Galileo. Propongo también una versión del Principio de Dirichlet que es válida tanto para la noción de cardinalidad derivadade la noción cantoriana de equinumerosidadcomo para las nociones de cardinalidad derivadas de las nociones alternativas de equinumerosidad.

Conception neuroscientifique du nombre

Horya Benis SINACEUR

Stanislas Dehaene a formulé l’hypothèse que l’homme et l’animal sont doués d’un « sens numérique » qui se manifeste comme intuition directe de ce que signifient les nombres. Il écrit « notre cerveau, comme celui du rat, est pourvu depuis des tems immémoriaux d’une représentation intuitive des quantités » (The number sense, p. XX). Cette intuition approxime la quantité, faisant la différence entre un et plusieurs, mais ne distinguant pas précisément 6 de 5. Les thèses de Dehaene reposent sur l’interprétation d’expériences visuelles. Une question se pose alors de savoir comment le sens du nombre est associé au sens de la vue. Pour Dehaene la perception d’une quantité serait analogue à celle de la couleur. Elle découperait un nombre sur un fond numérique plutôt continu. Ce qui pose la question de savoir comment le concept de nombre discret, qui définit 6 comme égal à 5+1, s’élabore à partir d’une intuition globale, variable et notamment dépendante de l’effet distance (Il est plus facile de comparer 5 et 10 que 5 et 6) et de l’effet grandeur (il est plus facile de comparer 1 et 2 que 300 000 et 300 001 par exemple).