XV Colóquio Conesul
de Filosofia das Ciências Formais


Local e Data:

Salvador, Bahia, Brasil
23 de outubro de 2011 a 28 de outubro de 2011

Participantes:

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  • Carlos ÁLVAREZ (Universidad Nacional Autónoma de México)
  • Jessica CARTER (University of Southern Denmark)
  • Oswaldo CHATEAUBRIAND (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro)
  • Oscar M. ESQUISABEL (Universidad Nacional de La Plata)
  • Max FERNÁNDEZ DE CASTRO (Universidad Autónoma Metropolitana)
  • José FERREIRÓS DOMÍNGUEZ (Universidad de Sevilla)
  • Edward H. HAEUSLER (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro)
  • Camila JOURDAN (Universidade do Estado do Rio de Janeiro)
  • Abel LASSALLE CASANAVE (Universidade Federal da Bahia)
  • Javier LEGRIS (Universidad de Buenos Aires)
  • Paolo MANCOSU (University of California at Berkeley)
  • Jorge Alberto MOLINA (Universidade de Santa Cruz do Sul)
  • Marco PANZA (CNRS/IHPST - Université Paris I)
  • Luiz Carlos PEREIRA (Universidade do Estado do Rio de Janeiro)
  • Maria PONTE (Universidad de Sevilla)
  • André PORTO (Universidade Federal de Goiás)
  • Wagner SANZ (Universidade Federal de Goiás)
  • Frank Thomas SAUTTER (Universidade Federal de Santa Maria)
  • Sérgio SCHULTZ (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro)
  • Jairo José da SILVA (Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho)
  • James TAPPENDEN (University of Michigan)
  • Paulo VELOSO (Universidade Federal do Rio de Janeiro)

Instituição Promotora:

  • Universidade Federal da Bahia (UFBA)

Apoio:

  • Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio)
  • Universidade Federal de Goiás (UFG)
  • Universidade Federal de Santa Maria (UFSM)

Agências Financiadoras:

  • Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)
  • Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Comissão Organizadora:

  • Abel LASSALLE CASANAVE (Presidente)
  • Camila JOURDAN
  • Javier LEGRIS
  • Frank Thomas SAUTTER

Programação:

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Domingo, 23/10/2011

19:00 – 20:00: Cerimônia de Abertura.

Segunda-feira, 24/10/2011

09:00 – 11:00: Mesa de Abertura:

Fundamentos y práctica matemática en Leibniz

Infinitesimales y conocimiento simbólico en Leibniz
Oscar Miguel ESQUISABEL (UNLP – CONICET / Argentina)

Leibniz y los Elementos de Euclides
Jorge Alberto MOLINA (UNISC/ Brasil)

11:00 – 12:00 Palestra

Representations in mathematical reasoning
Jessica CARTER (University of Southern Denmark / Dinamarca)

14:00 – 15:00: Palestra

The Eulerian Method and its reception by Venn, Carroll, and Keynes
Frank Th. SAUTTER (UFSM – CNPq / Brasil)

15:00 – 16:00: Palestra

Icons of Thought. On Peirce Existential Graphs
Javier LEGRIS (UBA – CONICET / Argentina)

16:00 – 17:00: Palestra

Una mirada no estándar a las representaciones empleadas en teoría de conjuntos.
José FERREIRÓS DOMÍNGUEZ
(Universidad de Sevilla – CSIC / Espanha)

18:00 – 20:00: Conferência

Problemas: aspectos de uma teoria geral
Paulo VELOSO (UFRJ – CNPq / Brasil)
Wagner SANZ (Debatedor) (UFG / Brasil)

Terça-feira, 25/10/2011

08:00 – 10:30: Reunião

Reunião de Trabalho da Association for the
Philosophy of Mathematical Practice (APMP).

14:00 – 15:00: Palestra

Errores, evidencia y desacuerdos en matemáticas
Maria PONTE (Universidad del País Vasco - ILCLI / Espanha)

15: 00 – 16: 00: Palestra

On ideal and real mathematicians
Jean Paul van BENDENGEM (Vrije Universitaet Brussel – Bélgica)

16:00 – 17:00: Palestra

Richness and cognitive value in the aesthetics of mathematics
James TAPPENDEN (University of Michigan / EUA)

18:00 - 20:00: Conferência

A ontologia da prática matemática
Oswaldo CHATEAUBRIAND (PUC-Rio – CNPq / Brasil)
Frank SAUTTER (Debatedor) (UFSM – CNPq / Brasil)

Quarta-feira, 26/10/2011

10:00 – 11:00: Palestra

Transposições formais, sínteses operatórias e diagramas
Camila JOURDAN (UERJ / Brasil)

11:00 – 12:00: Palestra

Os diagramas à luz da distinção entre linguagem como cálculo e linguagem como meio de expressão
Sérgio SCHULTZ (PUC-Rio / Brasil)

16:00 – 17:00: Palestra

Sobre la interacción de diversas prácticas geométricas previas al surgimiento de la geometría proyectiva.
Carlos ALVAREZ (UNAM – CONCACYT / México)

18:00 – 20:00: Conferência

On the relationship between plane and solid geometry
Paolo MANCOSU (University of California at Berkeley – EUA)
Javier LEGRIS (Debatedor) (UBA – CONICET / Argentina)

Quinta-feira, 27/10/2011

08:00 – 10:30: Reunião

Reunião anual do Grupo de Trabalho em Filosofia das Ciências Formais da Associação Nacional de Pós-Graduação
em Filosofia (ANPOF)

14:00 – 15:00: Palestra

Impredicatividad y enunciados auto-referenciales en matemáticas
Max FERNÁNDEZ DE CASTRO (UAM – CONACYT / México)

15:00 – 16:00: Palestra

Função e definição relativa em Wittgenstein
André PORTO (UFG– CNPq/ Brasil)

16:00 – 17:00: Palestra

A naturalidade da dedução natural
Luiz Carlos PEREIRA (PUC-Rio – CNPq / Brasil)
Hermann HAEUSLER (PUC-Rio – CNPq / Brasil)

18:00 – 20:00: Conferência

Uma outra perspectiva em ontologia matemática
Jairo J. da SILVA (UNESP - CNPq / Brasil)
Guido IMAGUIRE (Debatedor) (UFRJ – CNPq / Brasil)

Sexta-feira, 28/10/2011

09:00 – 11:00: Conferência de Encerramento

The Twofold Role of Diagrams in Euclid’s Plane Geometry
Marco PANZA (IHPST - CNRS / França)
Abel LASSALLE CASANAVE (Debatedor) (UFBA – CNPq / Brasil)

Resumos:

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Sobre la interacción de diversas prácticas geométricas previas al surgimiento de la geometría proyectiva

Carlos ALVAREZ
Universidad Autónoma de México – CONACYT
México

Es bien sabido que es hasta fines del siglo XIX que comienza a hablarse con familiaridad de la geometría proyectiva. Hasta mediados de ese siglo se habla más de geometría descriptiva, de geometría sintética, o aún de geometría de posición; en el estudio de las cuales intervienen el estudio de las propiedades proyectivas o también los métodos proyectivos. Creemos que en esta descripción se juega mucho más que un mero cambio de nomenclatura, ya que en realidad podemos detectar con cierta claridad la interacción de diversas prácticas geométricas que contribuyen a la constitución de la geometría proyectiva tal y como ésta se presentará a partir de textos como el de Cremona (1872) o el de Veblen y Young (1910). De este modo podemos preguntar primero sobre el papel que desempeña el antiguo teorema de Pappus, tal y como se enuncia en el libro VII de la Colección Matemática, junto con el estudio de las propiedades proyectivas y los intentos de caracterizar de entre éstas a las que permiten definir a una transformación proyectiva, en la formulación del teorema fundamental de la geometría proyectiva; o bien la ulterior discusión acerca de la legitimidad de introducir nociones que corresponden a otras prácticas matemáticas para su demostración, como es el caso de la noción de continuidad heredada del análisis, la teoría de funciones o la naciente topología. Preguntas análogas pueden hacerse en relación a la introducción de métodos analíticos y la introducción de coordenadas en la
geometría proyectiva, que exigen seguir dependiendo de una geometría métrica, o bien recurrir al teorema de Desargues, lo que obliga a introducir propiedades puramente proyectivas (no métricas) pero demostrables sólo apelando a la geometría sólida. Creemos así que encontramos un muy fértil terreno para reflexionar acerca de la interacción entre distintas prácticas y los efectos que dicha interacción tiene en la constitución de una teoría matemática.

Los ideales de abstracción y simplicidad en los trabajos de Frécher y Hausdorff sobre la topología de las vecindades

Luis Carlos ARBOLEDA
Universidad de Cali
Colômbia

La axiomatización de la topología de espacios abstractos es un paso fundamental en el desarrollo de las estructuras matemáticas en el siglo XX. El propósito de formalizar la “geometría implícita” del espacio respondía a la necesidad de generalizar los problemas más útiles del análisis y de la teoría de funciones. En medio de las tensiones por encontrar el ámbito más fecundo de la extensión, los matemáticos movilizaron concepciones profundas en ideales de abstracción y simplicidad que nos interesa caracterizar en esta comunicación. Se examinarán comparativamente dos momentos históricos decisivos. El primero es la introducción de las primeras estructuras topológicas determinada por la convergencia de sucesiones y la métrica de Fréchet (1904-1906). El segundo es la caracterización de la topología del espacio abstracto por la axiomática de las vecindades formulada por Hausdorff en sus conferencias de Bonn en 1912 y adoptada finalmente en su célebre obra “Mengenlhere” de 1914.

On ideal and real mathematicians

Jean Paul VAN BENDEGEM
Vrije Universitaet Brussel
Bélgica

Mathematicians and philosophers of mathematics very often use imaginary or ideal representations not merely of mathematical theories but also of mathematicians themselves. Some of them are well-known: the logically omniscient mathematician, Brouwer’s creative subject, the constructive mathematician, to name the most important ones. But how do these ideal types relate to real flesh-and-blood mathematicians? Are they meant to be mere idealisations of what is actually going on? Or do they serve different roles and, if so, which ones? In this presentation I will argue that these roles are indeed far more complex than usually imagined but that nevertheless they are informative for mathematical practice.

Representations in mathematical reasoning

Jessica CARTER
University of Southern Denmark
Dinamarca

In her recent book 'Representation and Productive Ambiguity in Mathematics and the Sciences' Emily Grosholz argues for the ambiguous use of representations in the sciences as well as in mathematics. She claims that this goes against a common conception about our scientific language, i.e., that terms should refer uniquely. Grosholz shows examples of this productive ambiguity, where diagrams represent both as icons and as symbols. In the talk I shall focus on the role of iconic and indexical representations in proofs in mathematics. More precisely I will explain their role in the claim that “A proof uses an interplay between different representations. One role they play is that they enable us to break the proof down into manageable parts, focusing on certain details”

A ontologia da prática matemática

Oswaldo CHATEAUBRIAND
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – CNPq
Brasil

Como observado por Bernays em seu famoso artículo sobre o platonismo na matemática, na prática matemática objetos, funções, relações, propriedades, estruturas, etc. são tratados como entes existentes independentemente de nosso discurso e de nossas construções. Bernays mantém que esta forma de platonismo é essencialmente uma maneira de falar que não envolve um compromisso filosófico com um platonismo estrito. Em minha apresentação defenderei a posição de Bernays e proporei um conteúdo mais sistemático para esta forma de platonismo, combinando-o com idéias de Frege e de Gödel.

Infinitesimales y conocimiento simbólico en Leibniz

Oscar M. ESQUISABEL
Universidad Nacional de La Plata – CONICET
Argentina

La importancia cognoscitiva que concede Leibniz al diseño de sistemas simbólicos notacionales en materia de fundamentación y descubrimiento se sustenta, en términos muy esquemáticos, en el hecho de que la notación simbólica permite presentar o “exponer” las relaciones estructurales de los objetos que son representados mediante los símbolos. El hecho de que la sintaxis de la expresión represente o “reproduzca” de algún modo las relaciones estructurales objetivas constituye una de las ideas centrales de la teoría leibniziana del “conocimiento simbólico”. No obstante, Leibniz introduce algunos conceptos matemáticos de suma importancia que, aparentemente, representan una seria objeción a esta concepción general del conocimiento simbólico. Tal es el caso de la introducción del simbolismo de las “cantidades diferenciales”, que Leibniz caracteriza como “ficciones” útiles para el cálculo, sin que les corresponda referencia objetiva alguna. Cabe interrogarse entonces si no es insuficiente la caracterización del conocimiento simbólico en términos de “representación” simbólica de las relaciones estructurales entre objetos o, dicho en otros términos, si las ideas matemáticas de Leibniz no exceden el marco “representacionalista” dentro del cual el filósofo forja su concepción del conocimiento simbólico. Sin intentar dirimir la cuestión de una manera categórica, ensayaremos una solución en el marco de la concepción ampliada del conocimiento simbólico.

Impredicatividad y enunciados auto-referenciales en matemáticas

Max FERNÁNDEZ DE CASTRO
Universidad Autónoma Metropolitana – CONACYT
México

La primera parte de esta charla analiza la controversia entre Poincaré y Russell en torno al origen de las paradojas semánticas y de la teoría de conjuntos. Se mostrará que el Principio del Círculo Vicioso no tenía como única justificación el evitar las inconsistencias, sino que señalaba un problema de indeterminación. Con la misma cuestión en mente, se expone, en la segunda parte, la aparición de enunciados autoreferenciales en la prueba de Gödel y se muestra que la circularidad en ellos es siempre eliminable. Finalmente, se extraen de lo anterior algunas consideraciones para la justificación del axioma de anti-fundamento en Teoría de Conjuntos.

Una mirada no estándar a las representaciones empleadas en teoría de conjuntos

José FERREIRÓS DOMÍNGUEZ
Universidad de Sevilla – CSIC
Espanha

Las representaciones desempeñan papeles centrales en la práctica matemática, y el caso particular de las representaciones icónicas está siendo muy estudiado en las últimas décadas. En todos los casos, se advierte que las representaciones realizan papeles de diversa índole. Sin embargo, su funcionalidad adquiere matices especiales cuando se emplean en conexión con teorías a las que se adjudica un papel fundacional, como es el caso de la teoría axiomática de conjuntos. Consideraremos este caso, proponiendo algunas observaciones generales sobre la función de las representaciones, y centrándonos en su empleo a los efectos de justificar la propia teoría.

Seriedade Ontológica e Prática Matemática

Guido IMAGUIRE
Universidade Federal do Ceará – CNPq
Brasil

A maioria dos metafísicos contemporâneos tende a aceitar algum princípio de restrição do domínio de entidades. Armstrong, por exemplo, apesar de defender o Realismo metafísico, defende um naturalismo que exclui entidades não espaço-temporais, como as da matemática, como sendo ontologicamente gratuitas. J. Lowe, de modo similar, destaca um domínio de pseudo-entidades que incluem itens da matemática e que, segundo ele, não devem ser tomadas com seriedade ontológica. Objetivo desta comunicação é analisar a motivação desses princípios de des-ontologização da matemática, e investigar a plausibilidade de uma alternativa ficcionalista que concebe a matemática como uma ficção útil. Com este pano de fundo, consideraremos às teses de Da Silva acerca da natureza dos entes matemáticos.

Transposições formais, sínteses operatórias e diagramas

Camila JOURDAN
Universidade Estadual do Rio de Janeiro
Brasil

O objetivo da apresentação será abordar a compreensão das demonstrações matemáticas enquanto instrumentos de construção conceitual a partir de sínteses operatórias que seriam próprias ao conhecimento formal. Pretende-se sustentar que, se uma prova matemática é capaz de introduzir uma nova conexão conceitual, ela pode fazê-lo apenas porque sua linguagem exerce uma função diagramática, que lhe confere o papel exercido pelo que se espera de uma determinação dita sintética a priori. Este aspecto aparecerá como central para compreender em que sentido uma demonstração faz passar uma fórmula do âmbito do possível para o âmbito do impossível, explorando-se a relação desta capacidade com a maneira como a linguagem matemática modela nosso conhecimento empírico. O mecanismo envolvido na transposição do possível para o necessário, ou do possível para o impossível, seria um mecanismo inerente à própria formalização, e, com isso, indispensável à possibilidade de estabelecermos modelos matemáticos do real.

Existem os triângulos afinal?

Abel LASSALLE CASANAVE
Universidade Federal da Bahia
Brasil

Uma adequada compreensão do papel substantivo e não meramente heurístico das figuras em provas geométricas deve dar conta da aparente singularidade da figura em oposição com a generalidade da conclusão da prova, deve também atentar para o estatuto qua objeto da figura por oposição a sua função como signo ou representação. Proporemos no nosso comentário às teses de Marco Panza que a noção de amostra – contrabandeando algumas idéias de Nelson Goodmann em The languages of Arts para uma filosofia da geometria sintética- satisfaz as exigências acima, contemplando simultaneamente a condição de (aparente) instancia, capacidade de generalização e função simbólica. Completa o comentário uma alternativa à concepção existencial de construção.

Icons of Thought. On Peirce Existential Graphs

Javier LEGRIS
Universidad de Buenos Aires
Argentina

Charles Sanders Peirce was undoubtedly one of the grounding fathers of mathematical logic. He developed in an algebraic framework a prototype of what is now called First Order Logic. Now, due to philosophical reasons (the same reasons that led him to his semiotic theory), he became dissatisfied with algebraic notation for logic, so that he developed a diagrammatic or graphic system for logic: his existential graphs. This diagrammatic system has an iconic function with respect to deduction: It represents “the course of thinking”. According to Peirce, icons are characterized not only by being similar to their objects, but also as by being manipulated in order to obtain information concerning their denotation. This characterization implies the visualization of signs and also actions on them, reflecting the deductive practice. Thus, deduction is the construction of an icon or diagram, whose relations correspond to the relations in the ‘object of thinking’. As a consequence, logic is not necessarily related to ordinary language. The aim of this paper is to show that Peirce’s Existential Graphs represent in a diagrammatic way logical forms, giving support to a non linguistic conception of deduction.

On the relationship between plane and solid geometry

Paolo MANCOSU
University of California at Berkeley
Estados Unidos

Traditional geometry concerns itself with planimetric and stereometric considerations, which are at the root of the division between plane and solid geometry. To raise the issue of the relation between these two areas brings with it a host of different problems that pertain to mathematical practice, epistemology, semantics, ontology, methodology, and logic. In addition, issues of psychology and pedagogy are also important here. In this talk (which is based on joint work with Andy Arana), my major concern is with methodological issues of purity. In the first part, I will give a rough sketch of some key episodes in mathematical practice that relate to the interaction between plane and solid geometry. In the second part, I will look at a late nineteenth century debate (on “fusionism”) in which for the first time methodological and foundational issues related to aspects of the mathematical practice covered in the first part of the paper came to the fore. I conclude this part of the talk by remarking that only through a foundational and analytical effort could the issues raised by the debate on “fusionism” be made precise. The third part of the talk focuses on a specific case study which has been the subject of such an effort, namely the foundational analysis of the plane version of Desargues’ theorem on homological triangles and its implications for the relationship between plane and solid geometry. Finally, building on the foundational case study analyzed in the third section, in the fourth section I point the way to the analytic work necessary for exploring various important claims on “purity”, “content” and other relevant notions.

Leibniz y los Elementos de Euclides

Jorge Alberto MOLINA
Universidade de Santa Cruz do Sul
Brasil

Los matemáticos y parte de los filósofos del siglo XVII consideraron los Elementos de Euclides no sólo como el modelo perfecto de exposición de la Geometría sino también como un ejemplo para ser seguido en la exposición de todo saber. Sin embargo, eso no impidió que en esa época hubiera discusiones en torno del número de axiomas presentados por Euclides, sobre la independencia de los mismos, y sobre la exactitud de las definiciones de las entidades geométricas, contenidas en esa obra. Esas discusiones fueron en parte suscitadas por la falta de una edición canónica de los Elementos. Así por ejemplo, Arnauld en su obra Nuevos Elementos de la Geometría presentó una demostración del axioma según el cual si a dos magnitudes iguales les quitamos una magnitud igual, la igualdad se conserva. Pascal, por su parte, en El espíritu de la Geometría, lanzó el ideal de que toda proposición debía ser demostrada y todo concepto debía ser definido. Roberval pretendió demostrar uno de los axiomas de Euclides, siguiendo el camino que ya en la Antigüedad habían emprendido Apolonio y Proclo. Leibniz pensó que un nuevo cálculo, la característica geométrica, permitiría realizar la tarea de demostrar algunos de los axiomas de Euclides. Por medio de ese cálculo serían obtenidas demostraciones mejores que las de Descartes y Euclides, tanto desde el punto de vista fundacional como desde la exactitud. Nuestra tarea será mostrar cómo Leibniz intentó probar los axiomas de Euclides y redefinir las entidades matemáticas a través del examen de un conjunto de textos pertenecientes a diferentes períodos de su vida.

The Twofold Role of Diagrams in Euclid's Plane Geometry

Marco PANZA
IHPST – CNRS
França

Proposition I.1 is, by far, the most popular example used to justify the thesis that many of Euclid's geometric arguments are diagram-based. Many scholars have recently articulated this thesis in different ways and argued for it. My purpose is to reformulate it in a quite general way, by describing what I take to be the twofold role that diagrams play in Euclid's plane geometry (EPG). Euclid's arguments are object-dependent. They are about geometric objects. Hence, they cannot be diagram-based unless diagrams are supposed to have an appropriate relation with these objects. I take this relation to be a quite peculiar sort of representation. Its peculiarity depends on the two following claims that I shall argue for: i) To provide the conditions of identify of the objects of EPG is the same as to provide the identity conditions for the diagrams that represent them or— in the case of angles—of appropriate equivalence classes of diagrams that represent
them; ii) The objects of EPG inherit some properties and relations from the diagrams.

A naturalidade da dedução natural

Luiz Carlos PEREIRA
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - CNPq
Brasil

Hermann HAEUSLER
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - CNPq
Brasil

Em 1926 Lukasiewicz propôs como problema em seu seminário a definição de um novo sistema dedutivo que incorporasse o procedimento de demonstração hipotética dos matemáticos. A tarefa foi assumida por Jáskowski e em 1927 já encontramos referência a um sistema dedutivo tal como proposto por Lukasiewicz. Em 1934 Gerhard Gentzen publica o artigo “Investigação sobre a dedução lógica” e Jáskowski publica o artigo “Sobre as regras de suposição na lógica formal”. Ambos os artigos resolvem o problema formulado oito anos antes. Gentzen denomina seu sistema “Natural” e explica que há dois sentidos em que essa naturalidade pode ser compreendida. Nosso objetivo com o presente trabalho em colaboração com Luiz Carlos Pereira é discutir esses dois sentidos de “natural” e o modo como se relacionam com a prática matemática e com a filosofia da matemática. Um aspecto importante que consideraremos é a forma como a semântica
categórica, iniciada por Lambek, relaciona o conceito de “natural” em matemática com as regras de inferência oriundas dos sistemas de Dedução Natural para a lógica intuicionista.

Errores, evidencia y desacuerdos en matemáticas

María PONTE
Universidad del País Basco - ILCLI
Espanha

La visión recibida de las matemáticas como una empresa objetiva, como un cuerpo de verdades y métodos universales, se viene abajo en cuanto examinamos los fundamentos de las matemáticas. Muchas de las divergencias en este área guardan similitud con errores de comunicación o desacuerdos acerca de temas supuestamente “subjetivos” como los estéticos o morales. Me propongo examinar el tipo de evidencia disponible para creer en los axiomas matemáticos por medio del análisis semántico de los desacuerdos en matemáticas. Presentaré una definición de desacuerdo y de falta e intentaré mostrar que, en relación a las matemáticas, no puede haber desacuerdos sin falta: o bien se trata de malentendidos o casos de ambigüedad (lo que denominaré
desacuerdos débiles) o bien se trata de desacuerdos genuinos, en cuyo caso no podrán ser sin falta. A partir de este análisis presentaré algunas conclusiones acerca de la objetividad matemática y del papel de la reflexión filosófica.

Função e definição relativa em Wittgenstein

André PORTO
Universidade Federal de Goiás – CNPq
Brasil

Nossa apresentação visa localizar as propostas de Wittgenstein no interior da grande discussão sobre os fundamentos da matemática no século XX. Nossa sugestão é a de que, no centro das propostas do filósofo austríaco, encontramos duas teses centrais, uma negativa e outra, positiva. A tese negativa contém uma crítica às noções tradicionais de “função”, tanto em sua versão clássica, como um conjunto de pares ordenados, quanto em sua versão intuicionista, como uma operação “possível em princípio”. Arguiremos que Wittgenstein recusa ambas as formulações como envolvendo uma “visão mítica das regras”. Por sua vez, a tese positiva recomenda que tratemos a noção tradicional de “função” como uma espécie de “definição relativa”, i.e., critérios relativos para determinar se um conceito matemático está sendo adequadamente empregado (em
proposições empíricas).

Acerca da teoria geral de problemas de Paulo Veloso

Wagner SANZ
Universidade Federal de Goiás
Brasil

A natureza dos problemas matemáticos é tema que certamente requer uma mirada filosófica e exige dos próprios matemáticos uma pausa ao fim do dia para considerações teóricas de muito mais ampla vastidão. Uma teoria matemática de problemas matemáticos parece a primeira vista um objeto raro. Estamos acostumados a fazer história dos problemas matemáticos, considerações epistemológicas sobre revoluções na matemática e a solução ou insolubilidade de certos problemas com certos métodos. Mas seria a própria noção de problema matemático objeto digno de uma teoria matemática? Em caso afirmativo, que tipo de teoria deveria ou poderia ser esta? Que poderíamos esperar de uma teoria matemática de problemas? Poderíamos esperar uma revolução tão grande quanto aquela que representou a formalização da lógica no começo do século XX abrindo novos campos de investigação matemática? Examinaremos na nossa comunicação a Teoria Geral de Problemas proposta pelo Prof. Veloso da perspectiva das questões acima.

The Eulerian Method and its reception by Venn, Carroll, and Keynes

Frank Thomas SAUTTER
Universidade Federal de Santa Maria – CNPq
Brasil

Leonhard Euler proposed a diagrammatic method to the syllogistic in a series of letters written in 1761. John Venn, Lewis Carroll, and John Neville objected to this diagrammatic method in the second half of nineteenth century. My objective is to present Euler's original formulation, and to evaluate the criticisms of Venn, Carroll, and Keynes. The expected outcome is a better understanding of the role and importance of diagrammatic methods in the scope of logic.

Os diagramas à luz da distinção entre linguagem como cálculo e linguagem como meio de expressão

Sérgio Ricardo SCHULTZ
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Brasil

Em nossa apresentação buscaremos lançar luz sobre o problema acerca da distinção entre linguagens diagramáticas e linguagens proposicionais a partir da distinção – já formulada por Husserl e tornada célebre por van Heijenoort – entre linguagem como cálculo e linguagem como meio de expressão. Em um primeiro momento, tentaremos caracterizar esta distinção comparando sentenças da linguagem natural e cálculos como aqueles realizados seguindo os procedimentos comuns de soma e subtração. Em um segundo momento, aplicaremos esta distinção ao caso de linguagens diagramáticas, procurando situar tais sistemas de signos na distinção entre linguagem como cálculo e linguagem como meio universal. Argumentaremos que, diferentemente das linguagens (proposicionais) formais, que podem cumprir tanto as funções de cálculo quanto de meio de expressão, sistemas simbólicos diagramáticos somente poderiam cumprir a função de cálculo.

Uma outra perspectiva em ontologia matemática

Jairo José da SILVA
Universidade Estadual de São Paulo – CNPq
Brasil

Tradicionalmente, há três modos de se entender o estatuto ontológico de objetos matemáticos: eles existem independentemente da atividade matemática, são constructos mentais ou lingüísticos, ou simplesmente não existem. Essas ontologias, antes que fundadas na prática matemática, são variantes de pressupostos metafísicos de natureza empirista ou naturalista muito mais gerais. O objeto matemático se não é em si, autosubsistente e persistente, é ou uma ocorrência mental ou um mero modo de falar. A atenção á prática matemática mostra quão inadequadas essas ontologias são. Em minha conferência mostrarei como essa mesma prática sugere naturalmente uma outra perspectiva, muito mais capacitada a dar conta da natureza dos objetos matemático, além do escopo, metodologia e relevância prática e científica da própria matemática.

Richness and cognitive value in the aesthetics of mathematics

James TAPPENDEN
University of Michigan
Estados Unidos

There is a standing puzzle in the epistemology of scientific theory choice. Often apparently aesthetic criteria (beauty, elegance,) contribute to our choice of theories. But why should the attractiveness of a theory be any guide to its truth? The puzzle is reinforced by a presupposition dating back at least to Kant, holding that aesthetic judgments are in some way independent of pragmatic advantages ("purposiveness without purpose"). I want to examine some examples of aesthetic judgments in mathematics to bring out that at least some assessments of a piece of mathematics as beautiful is bound up in crucial ways with problem solving potential ("purposiveness with as yet undetermined purposes", so to speak). The key categories of assessment are those like "richness", "fruitfulness", "intricacy". I'll consider aesthetic judgments in two other areas - music and chess - to show that mathematics is not unique in its "non-Kantian" aesthetic.

Problemas: aspectos de uma teoria geral

Paulo VELOSO
Universidade Federal do Rio de Janeiro – CNPq
Brasil

Pretende-se apresentar alguns aspectos de um programa de pesquisa que visa a uma teoria matemática de problemas. Esse programa tem como origem uma tentativa de formular mais precisamente algumas idéias intuitivas de Polya sobre Heurística. O objetivo é desenvolver um ambiente onde conceitos como problema, solução, redução, decomposição, etc. recebam formulações gerais de modo que questões acerca de tais conceitos possam ser examinadas de maneira rigorosa. A postura é mais de análise e crítica do alcance e das limitações dessas formulações do que propriamente de resolução de problemas específicos. Serão discutidas também algumas conexões entre essas formulações e áreas como lógica, álgebra, categorias e programação.

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